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  在日常生活中，做某一件事，制造某種產品，完成某項任務，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數量關系是 工作量=工作效率×時間. 在小學數學中，探討這三個數量之間關系的應用題，我們都叫做“工程問題”. 舉一個簡單例子. 一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？ 一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時間內完成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位， 再根據基本數量關系式，得到 所需時間=工作量÷工作效率 =6（天）?6?1 兩人合作需要6天. 這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發展產生的. 為了計算整數化（盡可能用整數進行計算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設份額.還是上題，10與15的最小公倍數是30.設全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數是 30÷（3 2）= 6（天） 數計算，就方便些. ∶2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.當知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也 需時間是 因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設為整體1”的做法，而偏重于“整數化”或“從比例角度出發”，也許會使我們的解題思路更靈活一些. 一、兩個人的問題 標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體. 例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？ 答：乙需要做4天可完成全部工作. 解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是 （18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 解三：甲與乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）. 例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？ 解：共做了6天后， 原來，甲做 24天，乙做 24天， 現在，甲做0天，乙做40=（24 16）天. 這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率 如果乙獨做，所需時間是 如果甲獨做，所需時間是 答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天. 例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？ 解：先對比如下： 甲做63天，乙做28天； 甲做48天，乙做48天. 就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做 因此，乙還要做 28 28= 56 （天）. 答：乙還需要做 56天. 例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？ 解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量 余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數是 2 8 1= 11（天）. 答：從開始到完工共用了11天. 解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作 （30- 3 × 8- 1× 2）÷（3 1）= 1（天）. 解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天. 在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當于乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量. 4=3 1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天. 例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？ 解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 由于兩隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息期間未做的工作量是 乙隊休息的天數是 答：乙隊休息了5天半. 解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩隊休息期間未做的工作量是 （3 2）×16- 60= 20（份）. 因此乙休息天數是 （20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 解三：甲隊做2天，相當于乙隊做3天. 甲隊休息3天，相當于乙隊休息4.5天. 如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作量，乙休息天數是 16-6-4.5=5.5（天）. 例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？ 解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙. 設乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數），張每天完成4份，李每天完成3份. 8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要 （60-4×8）÷（4 3）=4（天）. 8 4=12（天）. 答：這兩項工作都完成最少需要12天. 例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他 要8天完成這項工程，兩人合作天數盡可能少，那么兩人要合作多少天？ 解：設這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 兩人合作，共完成 3× 0.8 2 × 0.9= 4.2（份）. 因為兩人合作天數要盡可能少，獨做的應是工作效率較高的甲.因為要在8天內完成，所以兩人合作的天數是 （30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 很明顯，最后轉化成“雞兔同籠”型問題. 例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時 如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？ 解：乙6小時單獨工作完成的工作量是 乙每小時完成的工作量是 兩人合作6小時，甲完成的工作量是 甲單獨做時每小時完成的工作量 甲單獨做這件工作需要的時間是 答：甲單獨完成這件工作需要33小時. 這一節的多數例題都進行了“整數化”的處理.但是，“整數化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數化，當求出乙每 有一點方便，但好處不大.不必多此一舉. 二、多人的工程問題 我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多. 例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？ 解：設這件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人獨做需要90天完成. 例9也可以整數化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？ 例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數是甲做的天數的3倍，再由丙接著做，丙做的天數是乙做的天數的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？ 解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）. 說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2 6 12=20（天）. 答：完成這項工作用了20天. 本題整數化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數有一個易求出的最小公倍數72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了 例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要 答：甲獨做需要26天. 事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉化為甲再做13天來完成. 例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？ 解一：設這項工作的工作量是1. 甲組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答：合作3天能完成這項工作. 解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成. 現在已不需顧及人數，問題轉化為： 甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？ 小學算術要充分利用給出數據的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數. 原問題：《有問“工程問題”有哪些基本公式？》

  回復于 2022-11-17 10:31:20